Das Skalarprodukt wird in dem deutschen Sprachraum in aller Regel mit einem Punkt als Multiplikationszeichen geschrieben: x·y.

Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können; das ist insbesondere in Texten der Fall, in denen Vektoren durch Vektorpfeile, durch Fettdruck oder durch Unterstreichen kenntlich gemacht sind und daher nicht mit Skalaren verwechselt werden können:

x·y = xy ist ein Skalarprodukt,

ax dagegen ist ein äußeres Produkt.

Das Skalarprodukt ist ursprünglich in dem Rahmen der analytischen Geometrie in dem Euklidischen Raum eingeführt worden. Um die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts zu erklären, betrachten wir den dreidimensionalen affinen Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem.

Ein Punkt A besitze die Koordinaten (a₁, a₂, a₃). Diese Koordinaten kann man auch als Komponenten eines Ortsvektors auffassen, der vom Ursprung O nach A zeigt. Der Abstand des Punktes A vom Ursprung, oder äquivalent die Länge des Vektors ist nachdem Satz des Pythagoras

.

Den Ausdruck unter der Wurzel fassen wir nun als skalarwertiges Produkt des Vektors mit sich selber auf: wir definieren also das Skalarprodukt als Summe über die Produkte der Vektorkomponenten,

.

Damit gilt für die Länge eines Vektors

,

was eine erfreuliche Analogie zu dem Absolutbetrag einer reellen

aufweist; tatsächlich kann man die Länge eines Vektors und den Absolutbetrag einer Zahl unter dem allgemeineren Begriff der Norm zusammenfassen.

Man rechnet leicht nach, dass das so eingeführte Skalarprodukt tatsächlich die typischen Merkmalen einer multiplikativen Verknüpfung hat: es gelten insbesondere das Distributivgesetz und damit auch die binomischen Formeln. Wir betrachten nun ein Dreieck ABC in dem affinen Raum und finden unter Verwendung der binomischen Formel:

.

Durch Vergleich mit dem Cosinussatz finden wir

.

Damit hat das Skalarprodukt eine geometrische Deutung: es ist das Produkt der Länge zweier Vektoren, gewichtet mit dem Cosinus des von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkels. Dieser Cosinus ist ein Maß für die Parallelität der beiden Vektoren: er ist 1, wenn die Vektoren richtungsgleich sind; -1, wenn die Vektoren einander entgegengerichtet sind; und 0, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Ausgehend von den vorstehenden Überlegungen und Begriffsbildungen arbeitet sich die lineare Algebra zu der Erkenntnis vor, dass man jeden Vektor als Linearkombination aus orthonormalen Basisvektoren darstellen kann,

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ...

Daraus ergibt sich, dass man das Skalarprodukt, in Übereinstimmung mit der "naiven" Definition, koeffizientenweise ausrechnen kann:

,

wobei der Überstrich wieder für die komplexe Konjugation steht.

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum berechnet man also das Skalarprodukt von zwei Spaltenvektoren zu dem Beispiel als

Bei unendlichdimensionalen Räumen muss man zwischen einer Orthonormalbasis und einer Basis in dem Sinne der linearen Algebra unterscheiden, die zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt wird.

In der Physik sind etliche Größen, zu dem Beispiel die Arbeit, durch Skalarprodukte definiert.